quinta-feira, 18 de agosto de 2011

Círculo Trigonometrico


 
 
As razões trigonométricas, aplicadas a arcos de uma circunferência, mantêm as mesmas propriedades que demonstramos ser válidas quando utilizadas com ângulos agudos.
Inicialmente, deveremos definir uma circunferência, em especial, sobre a qual interpretaremos as nossas já conhecidas razões trigonométricas.
Tal circunferência recebe o nome de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.
Imaginemos, primeiramente, um sistema de coordenadas cartesianas, como indicado na figura 1.


(figura 1)
Nos eixos r e s, perpendiculares entre si, cada ponto corresponde a um número real e vice-versa: cada número real tem um ponto associado em cada uma das retas. À interseção dos eixos faremos corresponder o número zero, tanto para o eixo r, das abscissas, como para o eixo s, das ordenadas, constituindo o que chamamos de origem dos eixos coordenados.
Assim, qualquer ponto do plano determinado pode ser representado por um par de números reais, a que chamamos de par ordenado. O ponto P, na figura, terá então as coordenadas (a, b), sendo a a abscissa de P e b a sua ordenada.
Na figura 2, fazemos surgir o ciclo trigonométrico, com centro na origem dos eixos e raio unitário.



(figura 2)
Como consequência, os pontos de interseção da circunferência com o par de eixos, indicados na figura por A, B, C e D, terão coordenadas dadas respectivamente por (1, 0), (0, 1), (_ 1, 0) e (0, _ 1).
Esses pontos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, aos quais damos o nome de quadrantes, numerados a partir de A no sentido anti-horário.
Por convenção, A, B, C e D são apenas limitadores dos quadrantes, não pertencendo a nenhum deles. Por exemplo, D é ponto que separa 3º do 4º quadrantes, mas não lhes pertence.

Números Reais no Ciclo Trigonométrico
Vamos associar a cada número real x um ponto do ciclo trigonométrico, de tal forma que:
_ o ponto A esteja associado ao número x = 0;
_ um número real x seja associado a um ponto P, tal que o comprimento do arco seja igual a | x |;
_ se x > 0, o arco será determinado, sobre o ciclo, no sentido anti-horário; se x < 0, o arco será
definido no sentido horário, como indicamos na figura 3.


(figura 3)
O ponto P, determinado de acordo com o que apresentamos acima, associado a um número real x, é denominado de imagem de x no ciclo trigonométrico.
Lembremos que o comprimento da circunferência trigonométrica pode ser calculado por C = 2R, sendo R o seu raio.
Como ele tem por medida uma unidade, o comprimento do ciclo trigonométrico será igual, portanto, a 2 unidades. Como decorrência, temos que:
_ um arco de uma volta (ou de medida 2 rad) terá comprimento 2 unidades;
_ um arco de comprimento |x|, no ciclo trigonométrico, terá medida |x| rad.
Assim, a medida de um arco , sobre o ciclo trigonométrico, é igual ao módulo do número real x do qual P é a imagem.

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