Problemas e Aplicações das Razões Trigonométricas - Presentation Transcript
1.Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
2.Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos: BC = hipotenusa, BC = a AC = cateto, AC = b AB = cateto, AB = c AC = cateto oposto ao ângulo AB = cateto adjacente ao ângulo AC = cateto adjacente ao ângulo AB = cateto oposto ao ângulo Então:
3.Observando o triângulo ABC (Â = 90º), temos: BC = hipotenusa, BC = a AC = cateto, AC = b AB = cateto, AB = c AC = cateto oposto ao ângulo AB = cateto adjacente ao ângulo AC = cateto adjacente ao ângulo AB = cateto oposto ao ângulo E também:
4.
Apresentaremos agora alguns exemplos de Problemas e Aplicações
que demonstram a importância dessas razões trigonométricas em nosso dia a dia
5.Problemas resolvidos
6.Problema 1
Uma pessoa está distante 80 m de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16º em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? Dado: tg 16º = 0,28.
x = cateto oposto ao ângulo de 16º 80 = cateto adjacente ao ângulo de 16º Resposta: A altura do prédio é aproximadamente 22,40 m.
7.Problema 2
Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida?
Dados: sem 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27.
Cálculo da altura x em relação ao solo:
Cálculo da distância percorrida y:
Resposta: A altura é de 540 m e a distância percorrida é de 2 076,9 m
8.Problema 3
Dois observadores, A e B, vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20º e 40º, conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A e B é de 200 m, calcule h.
Dados: tg 20º=0,364 e tg 40º= 0,839.
Indicaremos a distância BH como y, portanto AH = 200 - y
Cálculo pelo ângulo de 20º:
Cálculo pelo ângulo de 40º:
Cálculo de y:
0,839y = 72,8 – 0,364y
1,203y = 72,8
y = 60,515
Cálculo de h:
h = 72,8 – 0,364 . 60,515 ou h = 0,839 . 60,515
h = 50,77 m
Resposta: O balão está a uma altura (h) de aproximadamente 50,77 m.

História da Trigonometria



Do ponto de vista etimológico,a palavra Trigonometria significa ´´medida dos triângulos``,sendo formada por 3 radicais gregos tri = três,gonos = ângulo,metron = medir.
Hoje em dia a trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos,pois os limites de sua aplicabilidade se entendem a vários campos da Matemática (tais como:a Geometria e a Análise),e em outras ciências correlatas (tais como:a Física e a Astronomia).
Existem vestígios de um estudo de trigonometria entre os babilônios,que a usavam para resolver problemas práticos de navegação,de Astronomia e de Agrimensura.
As correspondências entre relações dos lados de um triângulo retângulo e os seus ângulos,foram (de maneira sistemática) empregadas ,pela primeira vez,pelo astrônomo grego Hiparco,por volta de 140 anos antes de cristo.
Hiparco organizou diversas tabelas relacionando as razões trigonométricas com ângulos.
Hoje em dia,as razões trigonométricas mais utilizadas são três:o seno(abreviatura sen) o cosseno(abreviatura cos) e a tangente(abreviatura tg).

As Razões Trigonometricas no triângulo retângulo (Seno, Cosseno e Tangente.

• Apresentando um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a

θ, define-se Sen (θ) como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e

 a hipotenusa deste triângulo, resultando-se na fórmula logo acima.

     * Em um triângulo retângulo, o Cos de um ângulo agudo é dado

 pelo Quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Em outras palavras:

     * O cosseno de um ângulo agudo é a Razão (divisão) entre

 a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

Assim, resultando em sua fórmula apresentada logo acima.

      

 

       * Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida

do   cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse

ângulo, ou seja, pode, ser definida como a razão entre seno

deste ângulo e o seu cosseno, expressada na fórmula acima.

Questão da situação de aprendizagem 3. VOCÊ APRENDEU?

A partir dessa ideia de movimento periódico representado em função do tempo, resolva a seguinte atividade:
1- Um pequeno corpo gira em torno de uma circunferência de raio 4 cm, no sentido indicado completando uma volta a cada 2 segundos. Considerando que o corpo parte do ponto O assinalado na figura, determine a equação matemática que permite calcular a medida da profeção do ponto sobre o eixo vertical e, em seguida, desenhe o gráfico cartesiano representativo da equação obtida.

R: A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da

circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na

circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante B é, nesse caso, igual a r. Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical

ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(rt), na

qual t é dado em segundos e P em centímetros.

O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é esse:

Característica de cada função trigonométrica (período, amplitude e imagem).

O que significa período, amplitude e imagem:

Ø  Período: é a distância horizontal entre dois picos sucessivos da “onda”.

Ø  Amplitude: é a metade da distância vertical entre dois picos.

Ø  Imagem: imagem é uma função ondi o conjunto  dos valores que a função assume, ou, em outras palavras é o conjunto dos valores de y correspondente aos valores de x.

Ondas podem ser descritas usando um número de variáveis, incluindo: frequência, comprimento de onda, amplitude e período.

A amplitude de uma onda é a medida da magnitude de um distúrbio em um meio durante um ciclo de onda. Por exemplo, ondas em uma corda têm sua amplitude expressada como uma distância (metros), ondas de som como pressão (pascals) e ondas eletromagnéticas como a amplitude de um campo elétrico (volts por metro). A amplitude pode ser constante (neste caso a onda é uma onda contínua), ou pode variar com tempo e/ou posição. A forma desta variação é o envelope da onda.

O período é o tempo(T) de um ciclo completo de uma oscilação de uma onda. A frequência (F) é período dividido por uma unidade de tempo (exemplo: um segundo), e é expressa em hertz. Veja abaixo:

Quando ondas são expressas matematicamente, a frequência angular (ômega; radianos por segundo) é constantemente usada, relacionada com frequência f em:

A função f(x) = a + b.sen(cx + d), tem por base a função seno mais simples definida por f(x) = sen x. A cada um dos parâmetros a, b, c e d, acrescentados à função f(x) = sen x, teremos modificações no gráfico desta função, modificações estas que veremos a seguir.
Os gráficos das funções seno e co-seno se repetem em intervalos constantes. Por este motivo são chamadas de funções periódicas.

Exemplo de um gráfico da função de f(x) = sen x.

Dando valores a x, e calculando os valores de sen x, teremos o gráfico a seguir:

                                              Carla Caíres

Continuação da postagem da "CARLA"

À distância entre dois pontos de máximos ou o intervalo de repetição da função denominamos período. No caso em estudo, o período corresponde a 2p radianos, que corresponde a uma volta no círculo trigonométrico.
Define-se a amplitude da função á metade da distância vertical entre um mínimo e um máximo, ou seja
A = (y_max - y_min)/2.

Na figura nota-se que a amplitude é igual a 1 unidade.
Um outro elemento importante do gráfico é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para a função f(x), o conjunto imagem é [-1, 1] que corresponde à variação do seno de um arco.

 Exemplo de um gráfico da função cos seno.

Os parâmetros acima também são válidos para a função f(x) = a + b.cos (cx + d). A única diferença consiste que em f(x) = cos x, tem f(0) = 1 enquanto que em f(x) = sen x, f(0) = 0.
Exibindo os gráficos das funções seno (em azul) e co-seno (em vermelho) , temos:

                                                                                                 Carla Caíres

Círculo trigonométrico

Seja uma circunferência de centro O sobre a qual marcamos dois pontos distintos, A e B. A cada uma das partes em que a circunferência fica dividida chamamos arco de circunferência.






                                                                                                                  kimberly suelen

Característica de cada função trigonométrica (período, amplitude e imagem) "Continuação CARLA"

A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o

eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse

caso, será o intervalo

[–A, +A], se A > 0.

                                                              Carla Caíres

Gráfico das funções trigonométricas (seno,cosseno e tangente)

Função seno

Analise o círculo trigonométrico, como visto a seguir:



Note o eixo dos senos (vertical) e compare com a tabela de sinais do seno abaixo:

Quadrante:    I    II    III    IV
Seno:            +    +    -       -

Com essas informações, consegue-se construir o gráfico da função seno:


f(x) = sen(x)

Função cosseno

Para o cosseno, é a mesma coisa, com a tabela abaixo e o respectivo gráfico:

Quadrante:    I    II    III    IV
Cosseno:      +   -      -      +    

  

f(x) = cos(x)

Note que o domínio das duas funções é (o domínio das funções seno e co-seno é o conjunto dos números reais).
Já o conjunto imagem (as funções seno e co-seno possuem valores entre os valores -1 e 1).

Função tangente

O círculo trigonométrico para a tangente é:


Note na figura e na tabela abaixo os sinais da tangente para cada quadrante:



Quadrante:    I    II    III    IV
Tangente:      +    +     -      -

Note que para o (90^o) em radianos a tangente é e para (270^o) é .

Verifique no gráfico:


 
Postado por : Larissa Gonçalves

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

As tábuas trigonométricas exibem a correspondência

ângulo→ƒ:razão trigonométrica

A correspondência ƒ acima é uma função,pois a cada ângulo corresponde uma determinada razão trigonométrica.

Por exemplo, ao ângulo de 30º corresponde um único seno que é ½.

Assim a correspondência

α→ sen α é uma função denominada função seno.De maneira análoga as correspondências

α→cos α

e

α→tg α

são funções que recebem o nome de função cosseno e função tangente respectivamente.

Essas funções recebem o nome de funções trigonométricas.

Temos até agora considerado como domínio das funções trigonométricas o conjunto de ângulos compreendidos entre 0º e 90º.

FONTE:lisa-bibliografia da matemática moderna.

Postado por:KETHELIN

As razões trigonometricas no Triângulo Retângulo(seno,cosseno e tangente).

1º) Seno de um ângulo:O seno de um ângulo(B ou C)é igual à medida do cateto oposto ao ângulo,dividida pela medida da hipotenusa.

Seno de um ângulo=cateto oposto a esse ângulo

                                               hipotenusa

Sem B=cateto op. a B

——————————=b

             hipotenusa     —                              

                                  a                            

                                 

Sen C=cateto op. a C

——————————=c

              hipotenusa    —

                                  a

2º)Cosseno de um ângulo:O cosseno de um ângulo(B ou C)é igual à medida do cateto adjacente ao ângulo,dividida pela medida da hipotenusa.

Cosseno de um ângulo=cateto adjacente ao ângulo

                                   ———————————————

                                                    hipotenusa

cos B=cateto adj. ao ângulo

  ————————————=c      

              hipotenusa             —

                                           a

cós C=cateto adj. ao ângulo

—————————————=b

                 Hipotenusa           —

                                             a

3º)Tangente de um ângulo:A tangente de um ângulo(B ou C)é igual à medida do cateto oposto a esse ângulo dividida pela medida do cateto que lhe é adjacente.

Tangente de um ângulo=cateto oposto ao ângulo

                                   —————————————

                                        cateto adjacente ao ângulo

tg B=cateto op. a B

—————————=b

      Cateto adj. a C   —

                               c

tg C=cateto op. a C

—————————=c

      Cateto adj. a C    —

                                b

                                                                                                                                                            Kethelin Dória

Mostrar que a variação das razôes trigonometricas dependem da medida do ângulo e não do tamanho do triângulo.

Mostrando que a variação das razões trigonometricas dependem da medida do ângulo e não do tamanho tamanho do triângulo, veremos o exemplo a seguir:

Consideremos um triângulo rectângulo, cujos comprimentos dos lados sejam 3,

4 e 5 centímetros. Como, dois triângulos são semelhantes se tiverem lados

correspondentes proporcionais, um triângulo cujos comprimentos dos lados sejam, 6, 8

e 10 centímetros, é um triângulo semelhante ao inicial. Sendo semelhantes, os seus

ângulos têm a mesma amplitude:

Seno β = 3/5

Cosseno β = 4/5

Tangente β = 3/4

Seno β = 6/10 = 3/5

Cosseno β = 8/10 = 4/5

Tangente β = 6/8 = 3/4

Calculemos as razões trigonométricas para o ângulo , em ambos os triângulos:

Ou seja, obtivemos os mesmos valores nos dois triângulos, isto quer dizer que,

as razões trigonométricas não dependem do comprimento dos lados dos triângulos

retângulos, dependem apenas da amplitude do ângulo considerado.

                                            Postagem feita por: Larissa Gonçalves



Apresentar um exemplo de uso da trigonometria no triângulo retângulo.

Pois bem, na maioria das vezes utilizamos a trigonometria para muitos fins. Entretanto deis da antiguidade já se usava a trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas, por métodos comuns, por exemplo:

Ø  Determinação da altura de certo prédio.

Ø  Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.

Ø  Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.

Ø  Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.

Ø  Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Na trigonometria utilizamos apenas o triangulo retângulo, que possui um ângulo de 90°, chamado de ângulo reto.Porém o triangulo retângulo existem algumas importantes relações, uma delas é o teorema de Pitágoras. Essa relação é muito importante na geometria, atende inúmeras situações envolvendo medidas.

As relações trigonométricas existentes no triangulo retângulo admitem três casos: seno, cosseno e tangente.

     Seno: Cateto oposto/Hipotenusa.

               Cosseno: Cateto adjacente/Hipotenusa.

               Tangente: Cateto oposto/Cateto adjacente.

Seno:

Cosseno:

                              

      Bibliografias: 
  www.brasilescola.com › ... › Trigonometria 
  http://www.mundoeducacao.com.br/ › Matemática       
  pt.wikipedia.org/wiki/Triângulo_retângulo             
         
                                                    Carla Caíres